UNIDAD 2
SISTEMA DECIMAL
SISTEMA DECIMAL
El principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada
10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la
izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco,
en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos
en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con
lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas
equivalen a 1 centena y así sucesivamente.
10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la
izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco,
en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos
en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con
lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas
equivalen a 1 centena y así sucesivamente.
SISTEMA BINARIO
El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración
en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y
uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente
con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el
sistema binario (encendido 1, apagado 0).
En binario, tan sólo existen dos dígitos, el cero y el uno. Hablamos, por tanto,
de un sistema en base dos, en el que 2 es el peso relativo de cada cifra respecto
de la que se encuentra a la derecha.
El sistema de numeración binario o de base 2 es un sistema que utiliza sólo dos
símbolos para representar un número. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos
unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente. Este sistema
de numeración es el utilizado por las computadoras para realizar todas sus operaciones.
CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO
Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos.
El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.
Por divisiones sucesivas
Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos,
hasta obtener un cociente cero.
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
153/2= 76 RESIDUO 1
76/2= 38 RESIDUO 0
38/2= 19 RESIDUO 0
19/2= 9 RESIDUO 1
972= 4 RESIDUO 1
4/2= 2 RESIDUO 0
2/2= 1 RESIDUO 0
1/2= 0 RESIDUO 1
El resultado en binario de 15310 es 10011001, ya que se toma el valor
del residuo en este caso de abajo hacia arriba
Por sumas de potencias de 2
Este método consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya
suma equivalga al número decimal.
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
15310 = 2(potencia 7) + 2(potencia 4) + 2(potencia 3) + 2(potencia 0) = 128 + 16 +8 +1
15310= 10011001(base 2)
Como se aprecia, si se cuenta con alguna familiaridad con las potencias
de 2 este último método es más rápido.
El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.
Por divisiones sucesivas
Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos,
hasta obtener un cociente cero.
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
153/2= 76 RESIDUO 1
76/2= 38 RESIDUO 0
38/2= 19 RESIDUO 0
19/2= 9 RESIDUO 1
972= 4 RESIDUO 1
4/2= 2 RESIDUO 0
2/2= 1 RESIDUO 0
1/2= 0 RESIDUO 1
El resultado en binario de 15310 es 10011001, ya que se toma el valor
del residuo en este caso de abajo hacia arriba
Por sumas de potencias de 2
Este método consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya
suma equivalga al número decimal.
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario.
15310 = 2(potencia 7) + 2(potencia 4) + 2(potencia 3) + 2(potencia 0) = 128 + 16 +8 +1
15310= 10011001(base 2)
Como se aprecia, si se cuenta con alguna familiaridad con las potencias
de 2 este último método es más rápido.
CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL
Para convertir un número en base 2 a base 10 (de binario a decimal), se toma cada
dígito de derecha a izquierda y se multiplica por 2 elevado a la potencia que
corresponda a su posición, de modo que el primero se multiplica por 2(A LA POTENCIA 0),
dígito de derecha a izquierda y se multiplica por 2 elevado a la potencia que
corresponda a su posición, de modo que el primero se multiplica por 2(A LA POTENCIA 0),
el segundo por 2(A LA POTENCIA 1), el tercero por 2 (A LA POTENCIA 2), y así sucesivamente.
La suma de todos los productos nos dará el valor decimal.Para convertir el numero binario 11011001 se hace lo siguiente:
1*2(a la potencia de 0)= 1
0*2(a la potencia de 1)= 0
0*2(a la potencia de 2)= 0
1*2(a la potencia de 3)= 8
1*2(a la potencia de 4)= 16
0*2(a la potencia de 5)= 0
1*2(a la potencia de 6)= 64
1*2(a la potencia de 7)= 128
Se suman los resultados de las multiplicaciones y el valor que resulte sera el equivalente
en numero decimal.
SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL
En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738 = 1 49610
CONVERSIÓN DE DECIMAL A OCTAL
La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
122 / 8 = 15 Resto: 2
15 / 8 = 1 Resto: 7
1 / 8 = 0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
12210 = 1728
La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910
SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciseis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
CONVERSIÓN DE HEXADECIMAL A DECIMAL
Calculemos, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910
CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL
Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:
1735 / 16 = 108 Resto: 7
108 / 16 = 6 Resto: C es decir, 1210
6 / 16 = 0 Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:
173510 = 6C716
BIBLIOGRAFÍA
Esta es la liga para el podcast
http://blip.tv/file/4076606/
COMPUERTAS LÓGICAS
Hay disponible una gran variedad de compuertas estándar, cada una con un comportamiento
perfectamente definido, y es posible combinarlas entre si para obtener funciones nuevas.
Desde el punto de vista práctico, podemos considerar a cada compuerta como una caja negra, en la que se introducen valores digitales en sus entradas, y el valor del resultado aparece en la salida.
Cada compuerta tiene asociada una tabla de verdad, que expresa en forma de lista el estado de su salida para cada combinación posible de estados en la(s) entrada(s).
Si bien al pensar en la electrónica digital es muy común que asumamos que se trata de una tecnología relativamente nueva, vale la pena recordar que Claude E. Shannon experimentó con relés e interruptores conectados en serie, paralelo u otras configuraciones para crear las primeras compuertas lógicas funcionales. En la actualidad, una compuerta es un conjunto de transistores dentro de un circuito integrado, que puede contener cientos de ellas. De hecho, un microprocesador no es más que un chip compuesto por millones de compuertas lógicas.
Veremos a continuación que símbolo se utiliza para cada compuerta.
perfectamente definido, y es posible combinarlas entre si para obtener funciones nuevas.
Desde el punto de vista práctico, podemos considerar a cada compuerta como una caja negra, en la que se introducen valores digitales en sus entradas, y el valor del resultado aparece en la salida.
Cada compuerta tiene asociada una tabla de verdad, que expresa en forma de lista el estado de su salida para cada combinación posible de estados en la(s) entrada(s).
Si bien al pensar en la electrónica digital es muy común que asumamos que se trata de una tecnología relativamente nueva, vale la pena recordar que Claude E. Shannon experimentó con relés e interruptores conectados en serie, paralelo u otras configuraciones para crear las primeras compuertas lógicas funcionales. En la actualidad, una compuerta es un conjunto de transistores dentro de un circuito integrado, que puede contener cientos de ellas. De hecho, un microprocesador no es más que un chip compuesto por millones de compuertas lógicas.
Veremos a continuación que símbolo se utiliza para cada compuerta.
EXPRESIONES BOOLEANAS
Definición. Una expresión booleana es una sucesión de símbolos que incluye 0,1, algunas variables y las operaciones booleanas.
Para ser más precisos definamos una expresión booleana en n variables x1, x2..., xn recursivamente como:
Si E1 y E2 son expresiones booleanas en x1, x2,... xn también lo son E1 + E2; E1 E2 y E1’.
Los símbolos 0 y 1 y x1, x2,..., xn son expresiones booleanas en x1, x2,... xn
TABLA DE VERDAD Para ser más precisos definamos una expresión booleana en n variables x1, x2..., xn recursivamente como:
La tabla de valores de verdad, también conocida como tabla de verdad, es una herramienta desarrollada por Charles Peirce en los años 1880, siendo sin embargo más popular el formato que Ludwig Wittgenstein desarrolló en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1918 por Bertrand Russell.
Se emplean en lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición. O si un esquema de inferencia, como argumento, es formalmente válido mostrando que, efectivamente, es una tautología.
Se emplean en lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición. O si un esquema de inferencia, como argumento, es formalmente válido mostrando que, efectivamente, es una tautología.
Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la “p” hasta el final del abecedario.
COMPUERTA LÓGICA "AND"
Con dos o más entradas, esta compuerta realiza la función booleana de la multiplicación.
Su salida será un “1” cuando todas sus entradas también estén en nivel alto. En cualquier otro caso, la salida será un “0”. El operador AND se lo asocia a la multiplicación, de la misma forma que al operador SI se lo asociaba a la igualdad.
En efecto, el resultado de multiplicar entre si diferentes valores binarios solo dará como resultado “1” cuando todos ellos también sean 1.
Su salida será un “1” cuando todas sus entradas también estén en nivel alto. En cualquier otro caso, la salida será un “0”. El operador AND se lo asocia a la multiplicación, de la misma forma que al operador SI se lo asociaba a la igualdad.
En efecto, el resultado de multiplicar entre si diferentes valores binarios solo dará como resultado “1” cuando todos ellos también sean 1.
COMPUERTA LÓGICA "OR"
La función booleana que realiza la compuerta OR es la asociada a la suma, y matemá-ticamente la expresamos como “+”.
Esta compuerta presenta un estado alto en su salida cuando al menos una de sus entradas también esta en estado alto.
En cualquier otro caso, la salida será 0.
Tal como ocurre con las compuertas AND, el número de entradas puede ser mayor a dos.
Esta compuerta presenta un estado alto en su salida cuando al menos una de sus entradas también esta en estado alto.
En cualquier otro caso, la salida será 0.
Tal como ocurre con las compuertas AND, el número de entradas puede ser mayor a dos.
COMPUERTA LÓGICA "NOT"
Esta compuerta presenta en su salida un valor que es el opuesto del que esta presente en su única entrada. En efecto, su función es la negación, y comparte con la compuerta IF la caracte- rística de tener solo una entrada.
Se utiliza cuando es necesario tener disponible un valor lógico opuesto a uno dado. La figura muestra el símbolo utilizado en los esquemas de circuitos para representar esta compuerta,
Se utiliza cuando es necesario tener disponible un valor lógico opuesto a uno dado. La figura muestra el símbolo utilizado en los esquemas de circuitos para representar esta compuerta,
Cualquier compuerta lógica se puede negar, esto es, invertir el estado de su salida, simplemente agregando una compuerta NOT que realice esa tarea. Debido a que es una situación muy común,se fabrican compuertas que ya están negadas internamente. Este
es el caso de la compuerta NAND: es simplemente la negación de la compuerta AND vista anteriormente.
Esto modifica su tabla de verdad, de hecho la invierte (se dice que la niega) quedando que la salida solo será un 0 cuando todas sus entradas estén en 1.
El pequeño círculo en su salida es el que simboliza la negación. El numero de entradas debe ser como mínimo de dos, pero no es raro encontrar NAND de 3 o mas entradas.
es el caso de la compuerta NAND: es simplemente la negación de la compuerta AND vista anteriormente.
Esto modifica su tabla de verdad, de hecho la invierte (se dice que la niega) quedando que la salida solo será un 0 cuando todas sus entradas estén en 1.
El pequeño círculo en su salida es el que simboliza la negación. El numero de entradas debe ser como mínimo de dos, pero no es raro encontrar NAND de 3 o mas entradas.
COMPUERTA LÓGICA "NOR"
De forma similar a lo explicado con la compuerta NAND, una compuerta NOR es la negación de una compuerta OR, obtenida agregando una etapa NOT en su salida.
BIBLIOGRAFÍA
